Question

已知S_n為數列{a_n}的前項和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…
（Ⅰ）求證：數列{a_n-2n}為等比數列；
（Ⅱ）設b_n=a_n•（-1）ⁿ，求數{b_n}的n項和P_n；
（Ⅲ）設c_n=，數列{c_n}的n項和為T_n，求證：Tn＜．

Answer 1

【答案】分析：（I）將S_n=2a_n+n²-3n-2利用數列中a_n，Sn的關系進行轉化構造出新數列{a_n-2n}，再據其性質證明．
（Ⅱ）將（I）中所求的a_n代入bn，分組求和法求和．
（III）由于c_n==，從而得出：當n=1時，T₁=＜；當n≥時，T_n=+++…+＜+++…+利用等比數列的求和公式結合放縮法即可得到證明．
解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n+n²-3n-2
∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2
∴a_n+1=2a_n-2n+2
∴a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n）
∴{a_n-2n}是以2為公比的等比數列．
（II）a₁=S₁=2a₁-4，∴a₁=4，∴a₁-2×1=4-2=2
∴a_n-2n=2ⁿ，∴an=2ⁿ+2n …5分
當n為偶數時，
P_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（b1+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-（2^n-1+2（n-1）+（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2ⁿ+2×n）
=-+n=•（2ⁿ-1）+n         …7分
當n為奇數時，
Pn=--（n+1）…9分
綜上，Pn=…10分
（III）c_n==，
當n=1時，T₁=＜；
當n≥時，T_n=+++…+＜+++…+
=+=+-=-＜＜．
綜上可知，任意n∈N^*，T_n＜．…14分
點評：本題考查等比數列的判斷、數列求和，轉化，計算的能力．