Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]

已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是： （t是參數）．
（1）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|= ，試求實數m值．
（2）設M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+2y的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴曲線C的直角坐標方程為：x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．

∵ ，∴直線l的直角坐標方程為：y=x﹣m．即x﹣y﹣m=0．

∵|AB|= ，∴圓心到直線l的距離（弦心距）d= ．

即 ，解得m=1或m=3

（2）

解：曲線C的參數方程為： （θ為參數），

∵M（x，y）為曲線C上任意一點，∴x+2y=2+2cosθ+4sinθ=2+2 sin（θ+φ）．

∴x+2y的取值范圍是[2﹣2 ，2+2 ]

【解析】（1）求出圓的圓心和半徑，根據垂徑定理列出方程解出m；（2）求出曲線C的參數方程，將參數方程代入x+2y得到關于參數得三角函數，使用三角函數的性質得出最值．