Question

直線l過橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點F，且與橢圓相交于P、Q兩點，M為PQ的中點，O為原點．若△FMO是以OF為底邊的等腰三角形，則直線l的方程為______．

Answer 1

由

x2

2

+y2=1，得a²=2，b²=1，所以c²=a²-b²=2-1=1．
則c=1，則左焦點F（-1，0）．
由題意可知，直線l的斜率存在且不等于0，
則直線l的方程為y=kx+k．
設l與橢圓相交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
聯立

x2 2 +y2=1 y=kx+k

，得：（2k²+1）x²+4k²x+2k-2=0．
所以x1+x2=-

4k2

2k2+1

．
則PQ的中點M的橫坐標為

x1+x2

2

=-

2k2

2k2+1

．
因為△FMO是以OF為底邊的等腰三角形，
所以-

2k2

2k2+1

=-

1

2

．解得：k=±

2

2

．
所以直線l的方程為y=±

2

2

(x+1)．
故答案為y=±

2

2

(x+1)．