Question

已知H（－3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足
⑴當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C；
⑵過點T(－1，0)作直線l與軌跡C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點E(x₀，0)，使得△ABE是等邊三角形，求x₀的值．

Answer 1

見解析

解（1）設(shè)點M的坐標為（x，y），則由得
，得。所以y²＝4x 由點Q在x軸的正半軸上，得x>0，所以，動點M的軌跡C是以（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線，除去原點．
（2）設(shè)直線l：y＝k(x＋1)，其中k≠0代入y²＝4x，得k²x²＋2(k²－2)x＋k²＝0     ①
設(shè)A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，則x₁，x₂是方程①的兩個實數(shù)根，由韋達定理得
所以，線段AB的中點坐標為，線段AB的垂直平分線方程為

令 ，所以，點E的坐標為。因為△ABE為正三角形，所以，點E到直線AB的距離等于
   
所以，