Question

設橢圓方程為x²+=1,過點M(0,1)的直線l交橢圓于A,B兩點,O是坐標原點,點P滿足=(+),當l繞點M旋轉時,動點P的軌跡方程為　　　　　.

Answer 1

4x²+y²-y=0

【思路點撥】設直線l的斜率為k,用參數法求解,但需驗證斜率不存在時是否符合要求.
直線l過點M(0,1),當斜率存在時,設其斜率為k,則l的方程為y=kx+1.
設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
由題設可得點A,B的坐標(x₁,y₁),(x₂,y₂)是方程組的解,
將①代入②并化簡得(4+k²)x²+2kx-3=0,
所以
于是=(+)=(,)
=(,).
設點P的坐標為(x,y),則消去參數k得4x²+y²-y=0,�、�
當斜率不存在時,A,B中點為坐標原點(0,0),也滿足方程③,所以點P的軌跡方程為4x²+y²-y=0.
【方法技巧】利用參數法求軌跡方程的技巧
參數法是求軌跡方程的一種重要方法,其關鍵在于選擇恰當的參數.一般來說,選參數時要注意:
①動點的變化是隨著參數的變化而變化的,即參數要能真正反映動點的變化特征;②參數要與題設的已知量有著密切的聯系;③參數要便于軌跡條件中的各種相關量的計算,也要便于消去.常見的參數有角度、斜率、點的橫坐標、縱坐標等.