Question

已知單位向量，的夾角為，且=2+k，=+，=-2；
（1）若A，B，D三點共線，求k的值；
（2）是否存在k使得點A、B、D構成直角三角形，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由；
（3）若△ABC中角B為鈍角，求k的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據向量共線的充要條件，可得A，B，D三點共線，則=λ，構造方程可求出k的值；
（2）根據兩個向量垂直，向量積為0，分別討論△ABD中，角B為直角，角A為直角和角D為直角時，關于k的方程是否有解，最后綜合討論結果，可得是否存在k使得點A、B、D構成直角三角形．
（3）若△ABC中角B為鈍角，可得，夾角為銳角，即•＞0，解出k值后，除去讓，共線時的k值，可得答案．
解答：解：（1）∵=2+k，=+，=-2；
∴=+=2-；
∵A，B，D三點共線，
∴=λ
即2+k=λ（2-）
即
解得k=-1
（2）∵單位向量，的夾角為，
∴=1，=1，•=
在△ABD中，
若角B為直角，則•=（2+k）•（2-）=0，此時方程無解；
若角A為直角，則•=•（+）=（2+k）•[4+（k-1）]=0，即k²+2k+7=0此時方程無解；
若角D為直角，則•=•（+）=（2-）•[4+（k-1）]=0，此時方程無解；
綜上點A、B、D不能構成直角三角形，
（3）若△ABC中角B為鈍角，則，夾角為銳角，
∴•=（2+k）•（+）=3+＞0，解得k＞-2
又∵k＞2時，，同向，夾角為0°
故k的范圍為（-2，2）∪（2，+∞）
點評：本題考查的知識點是向量平行，向量垂直，向量的夾角，熟練掌握向量平等、垂直、夾角公式是解答的關鍵，其中（3）易忽略兩向量共線時的情況，而錯解為（-2，+∞）