Question

長度為a（a＞0）的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸和y軸上滑動，點P在線段AB上，且（λ為常數且λ＞0）．
（I）求點P的軌跡方程C，并說明軌跡類型；
（II）當λ=2時，已知直線l₁與原點O的距離為，且直線l₁與軌跡C有公共點，求直線l₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求點P的軌跡方程，設點P（x，y），只須求出其坐標x，y的關系式即可，由題意知點P滿足于得到一個關系式，再結合線段AB的長度為a（a＞0）化簡即得點P的軌跡方程，最后對參數λ進行討論來判斷軌跡是什么圖形即可．
（II）設直線l₁的方程：y=kx+h，先由直線l₁與原點O的距離為，得出h與k的關系，再將直線方程代入（1）中的方程，利用根的判別式△=9（4+k²）a²-81h²≥0即可求出斜率k的取值范圍．
解答：解：（I）設P（x，y）、A（x，0）、B（0，y），
則，
由此及|AB|=a⇒x²+y²=a²，得，
即．（*）（3分）
①當0＜λ＜1時，方程（*）的軌跡是焦點為，
長軸長為的橢圓；
②當λ＞1時，方程（*）的軌跡是焦點為，
長軸長為的橢圓；
③當λ=1時，方程（*）的軌跡是焦點為以O點為圓心，
為半徑的圓． （6分）
（II）設直線l₁的方程：y=kx+h，
據題意有，即． （9分）
由
得．
因為直線l₁與橢圓有公共點，
所以△=9（4+k²）a²-81h²≥0，又把代入上式，
得，∴． （12分）
點評：本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎知識，以及求動點軌跡的基本技能和綜合運用數學知識解決問題的能力．