Question

函數f（x）對任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求證：f（x）在R上是增函數．
（2）若f（4）=5，解不等式．f（3m²-4）＜3．
（3）若f（m²+m-5）＜2的解集是m∈（-3，2），求f（6）的值．

Answer 1

（1）證明：?實數x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，∵當x＞0時，f（x）＞1，∴f（x₂-x₁）＞1．
又∵函數f（x）對任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁）．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在R上是增函數．
（2）令a=b=2，則f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，解得f（2）=3．
不等式f（3m²-4）＜3．化為f（3m²-4）＜f（2）．
由（1）可得：f（x）在R上是增函數．
∴3m²-4＜2，化為m²＜2，解得-

2

＜m＜

2

．
∴不等式f（3m²-4）＜3的解集為(-

2

，

2

)．
（3）由m∈（-3，2），可得（-3，2）是不等式（m+3）（m-2）＜0的解集，
化為m²+m-5＜1，
∵f（m²+m-5）＜2的解集是m∈（-3，2），及由（1）可得：f（x）在R上是增函數．
∴f（1）=2．
∴f（2）=f（1+1）=2f（1）-1=3，
∴f（4）=2f（2）-1=2×3-1=5，
∴f（6）=f（2）+f（4）-1=3+5-1=7．
故f（6）=7．