Question

【題目】已知函數 ．

（1）討論函數在定義域內的極值點的個數；

（2）若函數在處取得極值，且對任意, 恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，求證： ．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意可得，分類討論有：當時，函數沒有極值點，

當時，函數有一個極值點．

（2）由題意可得，原問題等價于恒成立，討論函數的性質可得實數的取值范圍是；

（3）原問題等價于，繼而證明函數在區間內單調遞增即可.

試題解析：

（1），

當時， 在上恒成立，

函數在單調遞減，∴在上沒有極值點；

當時， 得， 得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當時在上沒有極值點，

當時，在上有一個極值點．

（2）∵函數在處取得極值，∴，

∴，

令， ，

可得在上遞減，在上遞增，

∴，即．

（3）證明：，

令，則只要證明在上單調遞增，

又∵，

顯然函數在上單調遞增．

∴，即，

∴在上單調遞增，即，

∴當時，有．