Question

在平面內，不等式確定的平面區域為，不等式組確定的平面區域為.
（1）定義橫、縱坐標為整數的點為“整點”．在區域任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區域的概率；
（2）在區域每次任取個點，連續取次，得到個點，記這個點在區域的個數為，求的分布列和數學期望．

Answer 1

（1）
（2）的分布列為

	0	1	2	3

 
的數學期望為.

解析試題分析：（1）作出平面區域和平面區域，打出網格，找出整點，數出在區域中整點的個數及這些點落在區域中的個數，運用排列組合知識和古典概型公式求出所求事件的概率；（2）由獨立重復試驗的概念知，每次在區域中取一點該點落在區域內的概率為定值，取3次，的3個點，落在區域內點的個數服從二項分布，根據二項分布的概率公式和期望公式即可求出分布列與期望.
試題解析：（1）依題可知平面區域的整點為：共有13個，上述整點在平面區域的為：共有3個，
∴．                         （4分）
（2）依題可得，平面區域的面積為，
平面區域與平面區域相交部分的面積為.
（設扇形區域中心角為，則得，也可用向量的夾角公式求）.
在區域任取1個點，則該點在區域的概率為，隨機變量的可能取值為：.
，，
，，
∴的分布列為

	0	1	2	3

 
∴的數學期望：.     （12分）
（或者：～，故）.
考點：二元一次不等式組表示的平面區域，古典概型，二項分布