Question

已知圓C的圓心在拋物線x²=2py（p＞0）上運動，且圓C過A（0，p）點，若MN為圓C在x軸上截得的弦．
（1）求弦長MN；
（2）設AM=l₁，AN=l₂，求

l1

l2

+

l2

l1

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設圓心坐標C（x₀，y₀），根據條件得到圓C的方程，再求出交點M和N的橫坐標，再根據弦長公式MN=|x₂-x₁|求得MN．
（2）首先設∠MAN=θ，接著根據三角形MAN面積得l₁與l₂關系式①，再根據余弦定理求得l₁²+l₂^{2_{的表達式即}}l₁與l₂關系式②，
聯立①②求得

l1

l2

+

l2

l1

的表達式，根據θ的范圍代入求解．

解答：解：（1）依題意設C（x₀，y₀），M、N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
        則圓C的方程為：（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-p）²．
         令y=0，并由x₀²=2py₀，得x²-2x₀x+x₀²-p²=0，
         解得x₁=x₀-p，x₂=x₀+p，
         所以弦長MN為|x₂-x₁|=x₀+p-（x₀-p）=2p．
  
 （2）設∠MAN=θ，因為S△MAN=

1

2

l1•l2•sinθ=

1

2

OA•MN=p2，
    所以l1l2=

2p2

sinθ

，因為l₁²+l₂²-2l₁ l₂cosθ=4p²，
    所以l₁²+l₂²=4p2+

4p2

sinθ

cosθ=4p2(1+

1

tanθ

)．
     所以

l1

l2

+

l2

l1

=

l 2 1 + l 2 2

l1l2

=

4p2(1+ 1 tanθ )sinθ

2p2

=2(sinθ+cosθ)=2

2

sin(θ+45°)．
    因為0＜θ≤90⁰，所以當且僅當θ=45°時，原式有最大值2

2

，當且僅當θ=90°時，原式有最小值為2，
    從而

l1

l2

+

l2

l1

的取值范圍為[2，2

2

]．

點評：這是一道圓錐曲線與三角函數的知識點交匯綜合題型，此題考查學生的運算能力，
知識點方面還考查直線與圓的位置關系，及弦長公式的運用，同時利用三角函數求最值方法．