Question

已知x∈(0，

π

2

)，且函數f(x)=

1+2sin2x

sin2x

的最小值為b，若函數g(x)=

-1( π 4 ＜x＜ π 2 ) 8x2-6bx+4(0＜x≤ π 4 )

則不等式g（x）≤1的解集為（　　）

• A．(

  π

  4

  ，

  π

  2

  )
• B．(

  π

  4

  ，

  3

  2

  ]
• C．[

  3

  4

  ，

  3

  2

  ]
• D．[

  3

  4

  ，

  π

  2

  )

Answer 1

分析：利用三角函數的平方關系和商數關系及基本不等式即可得出f（x）的最小值即b．再利用一元二次不等式的解法、交集與并集的運算即可得出．

解答：解：∵x∈(0，

π

2

)，∴tanx＞0．
∴f(x)=

3sin2x+cos2x

2sinxcosx

=

1

2

(3tanx+

1

tanx

)≥

3tanx• 1 tanx

=

3

．當且僅當tanx=

3

3

，即x=

π

6

時取等號．
因此b=

3

．
不等式g（x）≤1?①

π

4

＜x＜

π

2

或②

0＜x≤ π 4 8x2-6 3 x+4≤1

，解②得

3

4

≤x≤

π

4

．
因此不等式f（x）≤1的解集為[

3

4

，

π

4

]∪(

π

4

，

π

2

)=[

3

4

，

π

2

)．
故選D．

點評：熟練掌握三角函數的平方關系和商數關系及基本不等式、一元二次不等式的解法、交集與并集的運算等是解題的關鍵．