Question

【題目】已知函數 .

（1）若，函數的極大值為，求實數的值；

（2）若對任意的， ，在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）先求導數，再根據導函數零點分類討論，根據導函數符號變化規律確定函數極大值，最后根據絕對值求實數的值；（2）先求， 最大值，再變量分離得 ，最后根據導數研究函數最大值，即得實數的取值范圍.

試題解析：（1）由題意，

.

①當時，，

令，得；，得，

所以在單調遞增單調遞減.

所以的極大值為，不合題意.

②當時，，

令，得；，得或，

所以在單調遞增， ， 單調遞減.

所以的極大值為，得.

綜上所述.

（2）令，

當時，，

故上遞增，

原問題上恒成立

①當時，，，，

此時，不合題意.

②當時，令，，

則，其中，，

令，則在區間上單調遞增

（ⅰ）時，，

所以對，，從而在上單調遞增，

所以對任意，，

即不等式在上恒成立.

（ⅱ）時，由，及在區間上單調遞增，

所以存在唯一的使得，且時，.

從而時，，所以在區間上單調遞減，

則時，，即，不符合題意.

綜上所述，.