Question

如圖6，已知動圓M過定點F（1,0）且與x軸相切，點F 關(guān)于圓心M 的對稱點為 F'，動點F’的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)是曲線C上的一個定點，過點A任意作兩條傾斜角互補的直線，分別與曲線C相交于另外兩點P 、Q．
①證明：直線PQ的斜率為定值；
②記曲線C位于P 、Q兩點之間的那一段為l．若點B在l上，且點B到直線PQ的
距離最大，求點B的坐標．

Answer 1

（1）；（2）見解析.

第一問中利用直線育園的位置關(guān)系可知得到曲線C的軌跡方程
第二問中，（法1）由題意，直線AP的斜率存在且不為零，如圖6－2．
設(shè)直線AP的斜率為k（），則直線AQ的斜率為-k． ………………6分
因為是曲線C：上的點，
所以，直線AP的方程為．
由與聯(lián)立，
解之得，
所以點P的坐標為(,)，
以-k替換k，得點Q的坐標為(,)
所以直線PQ的斜率為定值
再就是由①可知，，，
，所以直線QP的方程為，
整理得得到B的坐標。
解：（1）（法1）設(shè)，因為點在圓M上，
且點F關(guān)于圓心M的對稱點為F’，
所以，              …………1分
且圓M的直徑為．…………2分
由題意，動圓M與y軸相切，
所以，兩邊平方整理得：，
所以曲線C的方程為．            ………………………………5分
（法2）因為動圓M過定點且與x軸相切，所以動圓M在x軸上方，
連結(jié)FF’，因為點F關(guān)于圓心M的對稱點為F’，所以FF’為圓M的直徑．
過點M作軸，垂足為N，過點F’作軸，垂足為E（如圖6－1）．
在直角梯形EOFF’中，，
即動點F’到定點的距離比到軸的距離大1．……………………………3分
又動點F’于軸的上方（包括軸上），
所以動點F’到定點的距離與到定直線y=-1的距離相等．
故動點F’的軌跡是以點為焦點，以直線y=1為準線的拋物線．
所以曲線C的方程為．            ……………………………5分

（2）①（法1）由題意，直線AP的斜率存在且不為零，如圖6－2．
設(shè)直線AP的斜率為k（），則直線AQ的斜率為-k． ………………6分
因為是曲線C：上的點，
所以，直線AP的方程為．
由與聯(lián)立，
解之得，
所以點P的坐標為(,)，
以-k替換k，得點Q的坐標為(,)，．      ………………8分
所以直線PQ的斜率為定值．………………10分
（法2）因為是曲線C：上的點，所以，
又點P、Q在曲線C：上，所以可設(shè)，，    …6分
而直線AP，AQ的傾斜角互補，
所以它們的斜率互為相反數(shù)，即，整理得．8分
所以直線pq的斜率為定值．  ………10分
②（法1）由①可知，，
，所以直線QP的方程為，
整理得．                  …………11分
設(shè)點在曲線段l上，因為P、Q兩點的橫坐標分別為和，
所以B點的橫坐標X在和之間，
所以，從而．
點B到直線QP的距離d=．………12分
當時，d的最大值為．
注意到，所以點在曲線段L上．
所以，點B的坐標是．…………………………………………14分

（法2）由①可知，，結(jié)合圖6－3可知，
若點B在曲線段L上，且點B到直線PQ的距離最大，
則曲線C在點B處的切線L//QP．  ………………11分
設(shè)L：，由方程組
與，聯(lián)立可得
消去y，得．
令△=0，整理，得．……12分
代入方程組，解得，．
所以，點B的坐標是．……………………………………………14分
（法3）因為拋物線C：關(guān)于y軸對稱，
由圖6－4可知，當直線AP的傾斜角大于00且趨近于00時，直線AQ的傾斜角小于1800且趨近于1800，即當直線AP的斜率大于0且趨近于0時，直線AQ的斜率小于0且趨近于0．
從而P、Q兩點趨近于點關(guān)于軸的對稱點．……11分

由拋物線C的方程和①的結(jié)論，
得，．
所以拋物線C以點為切點的切線L//PQ．
……………………12分
所以曲線段L上到直線QP的距離最大的點就是點A’，
即點B、點A’重合．
所以，點B的坐標是．……………14分