Question

如圖，圓柱OO₁內有一個三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O的直徑．
（1）證明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（2）設AB=AA₁=2，點C為圓柱OO₁底面圓周上一動點，記三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V．
①求V的最大值；
②記平面A₁ACC₁與平面B₁OC所成的角為θ（0°＜θ≤90°），當V取最大值時，求cosθ的值；
③當V取最大值時，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面A₁ACC₁內（包括邊界）的動點P到直線B₁C₁的距離等于它到直線AC的距離，求動點P到點C距離|PC|的最值．

Answer 1

分析：（1）利用線面、面面垂直的判定和性質定理即可證明；
（2）①解法一：利用三棱柱的體積公式和基本不等式的性質即可求出；解法二：利用三棱柱的體積計算公式和三角函數的單調性和最值即可求出；
②通過建立空間直角坐標系，分別求出此兩個平面的法向量，利用法向量的夾角和二平面的二面角的關系即可求出；
③建立如圖所示的平面直角坐標系，根據題意分別表示出有關的距離，列出方程即可得出．

解答：（1）證明：∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁A⊥BC．
∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC．
又AC∩A₁A=A，∴BC⊥平面A₁ACC₁
而BC?平面B₁BCC₁，∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁．
（2）①解法一：由已知圓柱的底面半徑為1，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=

1

2

AC•BC•2=AC•BC．
又∵AC²+BC²=AB²=4，∴AC•BC≤

AC2+BC2

2

=2，當且僅當AC=BC=

2

時等號成立．
從而，V_max=2，當AC=BC=

2

時取得最大值．
解法二：由已知圓柱的底面半徑為1，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=

1

2

AC•BC•2=AC•BC．
設∠BAC=α（0°＜α＜90°），則AC=ABcosα=2cosα，BC=ABsinα=2sinα．
由于AC•BC=4sinαcosα=2sin2α≤2，當且僅當sin2α=1即α=45°時等號成立，故V_max=2．
②由①知，V取最大值時，OC⊥AB．于是，以O為坐標原點，OB為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，
則C（1，0，0），B（0，1，0），B₁（0，1，2）．
∵BC⊥平面A₁ACC₁，∴

BC

=(1，-1，0)是平面A₁ACC₁的一個法向量．
設平面B₁OC的法向量

n

=(x，y，z)，由

n ⊥ OC n ⊥ OB1

得

x=0 y+2z=0

，
令z=1，則y=-2．
得平面B₁OC的一個法向量為

n

=(0，-2，1)．
∵0°＜θ≤90°，∴cosθ=|cos＜

n

，

BC

＞|=

| n • BC |

| n | | BC |

=

2

5 × 2

=

10

5

．
③以C為坐標原點，AC為x軸正方向，CC₁為y軸正方向，建立平面直角坐標系xCy，
則設P（x，y），C（0，0），C₁（0，2），A1(-

2

，2)，A(-

2

，0)，
動點P到直線B₁C₁的距離即為|PC₁|，到直線AC的距離等于|y|，
∴

x2-(y-2)2

=|y|，化簡得動點P的軌跡方程為y=

x2

4

+1(-

2

≤x≤0)，其軌跡為以CC₁的中點（0，1）為頂點，開口向上的拋物線的一段，-

2

≤x≤0．
∴|PC|=

x2+y2

=

4y+4+y2

=

(y+2)2-8

，
由-

2

≤x≤0得1≤y≤

3

2

，∴當y=1時，|PC|_min=1；y=

3

2

時，|PC|max=

17

2

．

點評：本題綜合考查了線面、面面垂直的判定與性質定理，三棱柱的體積公式及基本不等式的性質或三角函數求最值，二面角的平面角和拋物線的定義等內容，熟練掌握有關的知識與方法是解題的關鍵．