Question

【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點分別是、，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設為橢圓上不在軸上的一個動點，過點作的平行線交橢圓與、兩個不同的點，記，，令，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（1）由圓心到切線的距離求出，再由離心率可求得，從而得橢圓方程；

（2）設，，，，由平行線的等積轉化，得，因此設直線方程為，代入橢圓方程整理后用韋達定理得，代入后利用基本不等式可得最大值．

解：（1）由題意可知：橢圓焦點在軸上，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，

所以，

又橢圓的離心率，解得：，

橢圓的方程為：；

（2）由（1）可知：橢圓的右焦點，，設，，，，

，

，

設直線，

，整理得：，

，，

，

，

由，

，

當且僅當時，即時，取等號，

的最大值為．