Question

（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，

直線與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線過點F₁，且垂直于橢圓的長軸，動直

線垂直于點P，線段PF₂的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C₂的方程；

（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C₁的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F₂，求四邊形ABCD的面積

的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】（1）

相切

∴橢圓C₁的方程是              …………3分

   （2）∵MP=MF₂，∴動點M到定直線的距離等于它到定點F₂（2，0）的距離，

    ∴動點M的軌跡C是以為準線，F₂為焦點的拋物線

∴點M的軌跡C₂的方程為         …………3分

   （3）當直線AC的斜率存在且不為零時，設直線AC的斜率為k，

，則直線AC的方程為

聯立

所以

….8分

由于直線BD的斜率為代換上式中的k可得

因為，所以四邊形ABCD的面積為……..10分

由

所以時取等號．      …………11分

易知，當直線AC的斜率不存在或斜率為零時，四邊形ABCD的面積

綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值為       …………12分