Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為[﹣1，5]，部分對應值如表，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示，

x	﹣1	0	2	4	5
f（x）	1	2	1.5	2	1

下列關于函數f（x）的命題：
①函數f（x）的值域為[1，2]；
②如果當x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值為2，那么t的最大值為4；
③函數f（x）在[0，2]上是減函數；
④當1＜a＜2時，函數y=f（x）﹣a最多有4個零點．
其中正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵由導函數的圖象知，f（x）在[﹣1，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，4）遞增，在（4，5]遞減，
結合圖象函數的最小值是1，最大值是2，故函數f（x）的值域為[1，2]，①正確；
由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數據可得當x=0或x=4時，函數取最大值2，若x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即②錯誤；
由已知中y=f′（x）的圖象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是減函數，即③正確；
當1.5＜a＜2時，函數y=f（x）﹣a有4個零點，故當1＜a＜2時，函數y=f（x）﹣a有2，3，4個零點，最多有4個零點，故④正確；
所以答案是：①③④．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．