Question

【題目】已知函數f（x）=x2+（a+2）x+5+a，a∈R．
（Ⅰ）若方程f（x）=0有一正根和一個負根，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當x＞﹣1時，不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設方程x2+（a+2）x+5+a=0有一正根和一個負根，
則 ，
解得a＜﹣5
故答案為a＜﹣5
（Ⅱ）當x＞﹣1時，不等式x2+（a+2）x+5+a≥0恒成立，
即a（x+1）≥﹣x2﹣2x﹣5，因為x＞﹣1，所以x+1＞0， ，
而 ，當且僅當x=1時等號成立，
所以a≥﹣4．
故答案為a≥﹣4
【解析】（I）函數的兩根一正一負可以用△＞0和兩根之積＜0判斷解決（II）當x＞﹣1時，不等式f（x）≥0恒成立，就是a（x+1）≥﹣x2﹣2x﹣5，由x＞﹣1得x+1＞0，整理不等式求解即可