Question

在△ABC中，cosA=

11

14

，cosB=

13

14

．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若|

CA

+

CB

|=

19

，求|

AB

|．

Answer 1

分析：（1）先根據三角形中角的范圍求出sinA=

5 3

14

，sinB=

3 3

14

，再由兩角和的余弦定理可得答案．
（2）先根據正弦定理確定三角形三邊的比值關系，再根據向量中模的運算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由cosA=

11

14

，cosB=

13

14

，且0＜A，B＜π，
所以sinA=

5 3

14

，sinB=

3 3

14

．
于是cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=-

1

2

．
（Ⅱ）由正弦定理可得

BC

5 3 14

=

AC

3 3 14

=

AB

3 2

，
所以BC=

5

7

AB，AC=

3

7

AB．
由|

CA

+

CB

|=

19

得

CA

2+

CB

2+2

CA

•

CB

=19．
即(

5

7

AB)2+(

3

7

AB)2+2•(

3

7

AB)•(

5

7

AB)•(-

1

2

)=19，
解得AB=7．即|

AB

|=7．

點評：本題主要考查三角函數的兩角和與差的余弦公式和平面向量的數量積運算．三角和向量的綜合題詩高考的熱點每年必考，要給予重視．