Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

與向量

m

夾角為

3π

4

，且

m

•

n

=-1．
（Ⅰ）求向量

n

；
（Ⅱ）設向量

a

=（1，0）向量

b

=（cosx，2cos²（

π

3

-

x

2

）），其中0＜x＜

2π

3

，若

a

⊥

n

，試求|

n

+

b

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設向量

n

=（x，y），由已知中向量

m

=（1，1），向量

n

與向量

m

夾角為

3π

4

，且

m

•

n

=-1．根據向量數量積的運算法則，可得到關于x，y的方程組，解方程可得向量

n

的坐標；
（Ⅱ）由向量

a

=（1，0）向量

b

=（cosx，2cos²（

π

3

-

x

2

）），其中0＜x＜

2π

3

，若

a

⊥

n

，我們可以求出|

n

+

b

|²的表達式，利用三角函數的性質可得|

n

+

b

|的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設向量

n

=（x，y），∵向量

m

=（1，1），
則

m

•

n

=x+y=-1…①

m

•

n

=|

m

|•|

n

|•cos

3π

4

=-1，
即x²+y²=1
解得x=0，y=-1或x=-1，y=0
故

n

=（-1，0），或

n

=（0，-1），
（II）∵向量

a

=（1，0），

a

⊥

n

，
則

n

=（0，-1），
又∵向量

b

=（cosx，2cos²（

π

3

-

x

2

）），
∴

n

+

b

=（cosx，2cos²（

π

3

-

x

2

）-1）=（cosx，cos（

2π

3

-x）），
則|

n

+

b

|²=cos²x+cos²（

2π

3

-x）=

5

4

cos²x+

3

4

sin²x+

3

2

sinx•cosx=

1

2

sin（2x+

π

6

）+1，
∵0＜x＜

2π

3

，
∴

π

6

＜2x+

π

6

＜

3π

2

故-1＜sin（2x+

π

6

）≤1則

1

2

＜

1

2

sin（2x+

π

6

）+1≤

3

2

故

2

2

＜|

n

+

b

|≤

6

2

點評：本題考查的知識點是平面向量的綜合題，其中熟練掌握平面向量的數量積公式，模的計算公式，是解答本題的關鍵．