Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，且過點，橢圓的右頂點為，點的坐標為．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知縱坐標不同的兩點，為橢圓上的兩個點，且，，三點共線，線段的中點為，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意結合橢圓的性質可得，求得、即可得解；

（2）由題意設直線方程為，點，，，直線的斜率為，聯立方程結合韋達定理可表示出點的坐標，進而可得，結合基本不等式即可得解.

（1）∵橢圓：的離心率為，且過點，

∴，解得，，

∴橢圓的方程為；

（2）依題意知直線過點，且斜率不為0，

故可設其方程為，

由，消去得，，

設點，，，直線的斜率為，

故，∴，∴，

又點的坐標為，∴，

當時，；

當時，，

∵，當且僅當時，等號成立，

∴，∴，

∴且；

綜上所述，直線的斜率的取值范圍是．