Question

【題目】已知函數（其中為自然對數的底數）

（1）設過點的直線與曲線相切于點，求的值；

（2）函數的的導函數為，若在上恰有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件導數的幾何意義分析求解；（2）先對函數令求導，再運用導數與函數的單調性之間的關系判斷單調性，然后求出最小值，建立不等式進行分析求解：

（1）因為函數，所以，

故直線的斜率為，

點的切線的方程為，

因直線過，

所以，

即

解之得，

（2）令，

所以，

設，

則，

因為函數在上單增，

若在上恰有兩個零點，

則在有一個零點，

所以，

∴在上遞減，在上遞增，

所以在上有最小值，

因為（），

設（），則，

令，得，

當時， ， 遞增，

當時， ， 遞減，

所以，

∴恒成立，

若有兩個零點，則有， ， ，

由， ，得，

綜上，實數的取值范圍是.