Question

【題目】如圖，某城市有一條公路正西方AO通過市中心O后轉向北偏東α角方向的OB，位于該市的某大學M與市中心O的距離OM=3 km，且∠AOM=β，現要修筑一條鐵路L，L在OA上設一站A，在OB上設一站B，鐵路在AB部分為直線段，且經過大學M，其中tanα=2，cosβ= ，AO=15km．

（1）求大學M在站A的距離AM；
（2）求鐵路AB段的長AB．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△AOM中，A0=15，∠AOM=β，且cosβ= ，OM=3 ，

由余弦定理可得：AM2=OA2+OM2﹣2OAOMcos∠AOM=（3 ）2+152﹣2× ×15× =72．

所以可得：AM=6 ，大學M在站A的距離AM為6 km

（2）解：∵cos ，且β為銳角，∴sinβ= ，

在△AOM中，由正弦定理可得： = ，即 = ，∴sin∠MAO= ，

∴∠MAO= ，∴∠ABO=α﹣ ，

∵tanα=2，∴sin ，cosα= ，

∴sin∠ABO=sin（ ）= ，

又∵∠AOB=π﹣α，∴sin∠AOB=sin（π﹣α）= ．

在△AOB中，AO=15，由正弦定理可得： = ，即 ，∴解得AB=30 ，即鐵路AB段的長AB為30 km

【解析】（1）在△AOM中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；（2）由cos ，且β為銳角，可求sinβ，由正弦定理可得sin∠MAO，結合tanα=2，可求sinα，cosα，sin∠ABO，sin∠AOB，結合AO=15，由正弦定理即可解得AB的值．