Question

在平面直角坐標系中，已知三點A（m，n），B（n，t），C（t，m），直線AC的斜率與傾斜角為鈍角的直線AB的斜率之和為

5

3

，而直線AB恰好經過拋物線x²=2p（y-q），（p＞0）的焦點F并且與拋物線交于P、Q兩點（P在y軸左側）．則|

PF

QF

|=（　　）

A．9

B．4

C． 173 2

D． 21 2

Answer 1

設k_AB=

t-n

n-m

，k_AC=

m-n

t-m

，
則

t-n

n-m

+

m-n

t-m

=

5

3

，
∵（n-m）•k_AB=t-n=（t-m）+（m-n），
∴

m-n

t-m

=-

1

kAB+1

，
∴k_AB-

1

kAB+1

=

5

3

，解得k_AB=-

4

3

或2（舍去），
∵直線AB過拋物線x²=2p（y-q）的焦點，和直線AB過拋物線x²=2py的焦點，對|

PF

QF

|的值沒有影響，故可研究AB過拋物線x²=2py的情況，
∴直線AB的方程為y=-

4

3

x+

p

2

，與拋物線聯立消去y，
整理得x²+

8p

3

x-p²=0，求得x=-

9p

3

或

p

3

．
∵拋物線x²=2py的焦點為（0，

p

2

），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），P在y軸左側，
∴x₁=-

9p

3

，x₂=

p

3

∴|PF|=

1+k2

（|x₁-0|）=

1+k2

|x₁|，|QF|=

1+k2

（|x₁-0|）=

1+k2

x₂，
∴|

PF

QF

|=|

1+k2 x1

1+k2x2

|=|

x1

x2

|=|

- 9 3 p

p 3

|=9．
故選：A．