Question

設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數列{a_n}的集合：①

an+an+2

2

≤an+1②a_n≤M，其中n∈N^*，M是與n無關的常數
（1）若{a_n}是等差數列，S_n是其前n項的和，a₃=4，S₃=18，試探究{S_n}與集合W之間的關系；
（2）設數列{b_n}的通項為b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，M的最小值為m，求m的值；
（3）在（2）的條件下，設Cn=

1

5

[bn+(m-5)n]+

2

，求證：數列{C_n}中任意不同的三項都不能成為等比數列．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，驗證

Sn+Sn+2

2

＜Sn+1，S_n≤20，即可得到結論；
（2）由b_n+1-b_n=5-2ⁿ 可知{b_n}中最大項是b₃=7，從而可得m的值；
（3）利用反證法．假設{C_n}中存在三項b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）成等比數列，則b_q²=b_p•b_r，由此可得p=r與p≠r矛盾，從而得證．

解答：（1）解：設數列的首項為a₁，公差為d，則

a1+2d=4 a1+d=6

，∴a₁=8，d=-2
∴S_n=-n²+9n，∴

Sn+Sn+2

2

-Sn+1=

-n2+9n-(n+2)2+9(n+2)

2

+（n+1）²-9（n+1）=-1＜0
∴

Sn+Sn+2

2

＜Sn+1滿足①
∵Sn=-(n-

9

2

)2+

81

4

，
∴當n=4或5時，S_n取最大值20
∴S_n≤20滿足②，∴{S_n}∈W          …（4分）
（2）解：∵b_n+1-b_n=5-2ⁿ 
∴由5-2ⁿ＞0可知n≤2，5-2ⁿ＜0可知n≥3
而b₂=6，b₃=7，
∴{b_n}中最大項是b₃=7
∴M≥7   
∴M的最小值為7   
∴m=7           …（8分）
（3）證明：Cn=n+

2

，假設{C_n}中存在三項b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）成等比數列，則b_q²=b_p•b_r
∴(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)
∴(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0
∵p、q、r∈N^*   
∴

q2=pr 2q-p-r=0

∴p=r與p≠r矛盾
∴{C_n}中任意不同的三項都不能成為等比數列   …（12分）

點評：本題考查新定義，考查反證法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．