Question

如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)．連結(jié)交小圓于點(diǎn)．設(shè)直線是小圓的切線．

（1）證明，并求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，證明．

Answer 1

本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識和基本思想方法，考查推理及運(yùn)算能力.

(Ⅰ)證明：由題設(shè)條件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，故

即.

因此，。

解：在Rt△OFA中，

于是，直線OA的斜率.設(shè)直線BF的斜率為k，則

這時(shí)，直線BF的方程為（x－c），令x=0，則

所以直線BF與y軸的交點(diǎn)為M（0，a）.

(Ⅱ)證明：由（Ⅰ），得直線BF的方程為y=kx+a，且

         ②

由已知，設(shè)P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）,則它們的坐標(biāo)滿足方程組

               ③

由方程組③消去y，并整理得

.     ④

由①、②和④，

 

由方程組③消去x，并整理得

  ⑤

由式②和⑤，

 

綜上，得到

。

注意到,得