Question

某個QQ群中有n名同學在玩一個數字哈哈鏡游戲，這些同學依次編號為1，2，…，n．在哈哈鏡中，
每個同學看到的像用數對（p，q）（p＜q）表示，規則如下：若編號為k的同學看到像為（p，q），則編號為k+1的同學看到像為（q，r），且q-p=k（p，q，r∈N^*）．已知編號為1的同學看到的像為（5，6）．
（Ⅰ）請根據以上規律分別寫出編號為2和3的同學看到的像；
（Ⅱ）求編號為n的同學看到的像．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意規律，編號為2的同學看到的像是（6，8）；編號為3的同學看到的像是（8，11）．
（Ⅱ）設編號為n的同學看到的像是（b_n，a_n），則b₁=5，a₁=6，當n≥2時，b_n=a_n-1．由此結合題意可知編號為n的同學看到的像是(

n2-n+10

2

， 

n2+n+10

2

)．

解答：解：（Ⅰ）由題意規律，編號為2的同學看到的像是（6，8）；
編號為3的同學看到的像是（8，11）．
（Ⅱ）設編號為n的同學看到的像是（b_n，a_n），則b₁=5，a₁=6，
當n≥2時，b_n=a_n-1．
由題意a_n-b_n=n，∴a_n-a_n-1=n（n≥2）．
∴a_n-a₁=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=2+3++n=

(n-1)(2+n)

2

．
an=

(n-1)(2+n)

2

 +6=

n2+n+10

2

，bn=an-n=

n2-n+10

2

．
經檢驗n=1時，上式也成立．
∴編號為n的同學看到的像是(

n2-n+10

2

， 

n2+n+10

2

)．

點評：本題考查數列的性質及其應用，解題時要注意歸納能力的培養．