Question

【題目】已知橢圓的左頂點為，右焦點為，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于點，在軸上，是否存在點，使得無論非零實數怎樣變化，總有為直角？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點，使得無論非零實數怎么變化，總有為直角，點坐標為或.

【解析】試題分析：（1）依題意，，結合點在橢圓上及，即可求得橢圓的方程；（2）設，則，聯立直線與橢圓的方程，求得，，根據得所在直線方程，即可分別得到與的坐標，結合為直角，列出等式，即可求解.

試題解析：（1）依題意，.

∵點在上，

∴，

又∵

∴，

∴橢圓方程為

（2）假設存在這樣的點，設，則，聯立，解得，

∵

∴所在直線方程為，

∴，

同理可得，，.

∴或

∴存在點，使得無論非零實數怎么變化，總有為直角，點坐標為或．