Question

設函數f（x）的定義域為R，若存在常數M＞0使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，則稱函數f（x）為F函數．現給出下列函數①f（x）=x²，②f（x）=

x2

x2-x+1

③f（x）=x（1-2^x），④f（x）是定義在實數集R上的奇函數，且對一切x₁x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是F函數的序號為（　　）

A．①②③

B．②④

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據F函數的定義對各選項進行判定．比較各個選項，發現只有選項（2）（4），根據單調性可求出存在正常數M滿足條件，而對于其它選項，不等式變形之后，發現都不存在正常數M使之滿足條件，由此即可得到正確答案．

解答：解：f（x）=x²，|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在這樣的M對一切實數x均成立，故①不是F函數；
當x=0時，M可取任意正數；當x≠0時，只須M≥|

x

x2-x+1

|的最大值，即M≥|

1

x+ 1 x -1

|的最大值，∴M≥1，
因此，當M≥1時，②是F函數；
當x=0時，M可取任意正數；當x≠0時，只須M≥|1-2^x|的最大值，∵右邊不存在最大值，故③不是F函數；
對于④，f（x）是定義在實數集R上的奇函數，故|f（x）|是偶函數，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，符合題意．
故選B．

點評：本題重點考查了函數的最值及其性質，對選支逐個加以分析變形，利用函數、不等式的進行檢驗，方可得出正確結論．深刻理解題中F函數的定義，用不等式的性質加以處理，找出不等式恒成立的條件再進行判斷，是解決本題的關鍵所在．