Question

【題目】已知f（x）是定義域為（0，+∞）的單調函數，若對任意的x∈（0，+∞），都有 ，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區間（0，3]上有兩解，則實數a的取值范圍是（ ）
A.0＜a≤5
B.a＜5
C.0＜a＜5
D.a≥5

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵定義域為（0，+∞）的單調函數f（x） 滿足f[f（x）+ x]=4，
∴必存在唯一的正實數a，
滿足f（x）+ x=a，f（a）=4，①
∴f（a）+ a=a，②
由①②得：4+ a=a， a=a﹣4，
a=（ ）a﹣4 ， 左增，右減，有唯一解a=3，
故f（x）+ x=a=3，
f（x）=3﹣ x，
由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區間（0，3]上有兩解，
即有| x|=x3﹣6x2+9x﹣4+a，
由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），
當1＜x＜3時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞增．
g（x）在x=1處取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，
分別作出y=| x|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象，可得
兩圖象只有一個交點，將y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象向上平移，
至經過點（3，1），有兩個交點，
由g（3）=1即a﹣4=1，解得a=5，
當0＜a≤5時，兩圖象有兩個交點，
即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區間（0，3]上有兩解．
故選：A．

由題設知必存在唯一的正實數a，滿足f（x）+ x=a，f（a）=4，f（a）+ a=a，故4+ a=a， a=a﹣4，a=（ ）a﹣4 ， 左增，右減，有唯一解a=3，故f（x）+ x=a=3，由題意可得| x|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區間（0，3]上有兩解，討論g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a的單調性和最值，分別畫出作出y=| x|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象，通過平移即可得到a的范圍．