Question

（本小題滿分14分）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求直線與交點(diǎn)的軌跡E的方程

（2若過點(diǎn)的兩條直線和與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且，求的值.

 

Answer 1

【答案】

，

【解析】

解法一：

聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，   ③

則.

而點(diǎn)在雙曲線上，.

將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為[     .

因?yàn)辄c(diǎn)P，Q是雙曲線上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn)均不重合，故點(diǎn)均不在軌跡E上.

過點(diǎn)（0,1）及的直線的方程為.解方程組得.所以直線與雙曲線只有唯一交點(diǎn).

故軌跡E不經(jīng)過點(diǎn)（0,1）.同理軌跡E也不經(jīng)過點(diǎn)（0,-1）.

綜上分析，軌跡E的方程為.

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立得

.

令，

解得.

由于，則.

過點(diǎn)分別引直線通過軸上的點(diǎn)，且使，因此,由，此時(shí)，

的方程分別為，

它們與軌跡分別僅有一個(gè)交點(diǎn)

所以符合條件的的值為