Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn=n2 ， {bn}為等比數列，且a1=b1 ， b2（a2﹣a1）=b1 ．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式．
（2）設cn=anbn ， 求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a1=S1=1；

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，

故{an}的通項公式為an=2n﹣1，即{an}是a1=1，公差d=2的等差數列．

設{bn}的公比為q，則b1qd=b1，d=2，

∴q= ．

故bn=b1qn﹣1=1× ，即{bn}的通項公式為bn=（ ）n﹣1

（2）解：∵cn=anbn=（2n﹣1）（ ）n﹣1，

Tn=c1+c2+…+cn

即Tn=1+3× +5× +…+（2n﹣1）（ ）n﹣1，

Tn=1× +3× +5× +…+（2n﹣3）（ ）n﹣1+（2n﹣1）（ ）n，

兩式相減得， Tn=1+2（ + + +…+（ ）n﹣1）﹣（2n﹣1）（ ）n

=3﹣ ﹣（2n﹣1）（ ）n

∴Tn=6﹣

【解析】（1）由已知利用遞推公式an= 可得an ， 代入分別可求數列bn的首項b1 ， 公比q，從而可求bn；（2）由（1）可得cn=（2n﹣1）4n﹣1 ， 利用乘“公比”錯位相減求和
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．