Question

（2013•醴陵市模擬）已知F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線上的一點，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三邊長成等差數列，則雙曲線的離心率是

5

．

Answer 1

分析：本題考查的是雙曲線的簡單性質，要求出雙曲線的離心率，關鍵是要根據已知構造一個關于離心率e，或是關于實半軸長2a與焦距2C的方程，解方程即可求出離心率，注意到已知條件中，∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三邊長成等差數列，結合雙曲線的定義，我們不難得到想要的方程，進而求出離心率．

解答：解：設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
不妨設P在第一象限，
則由已知得

m-n=2a m2+n2=(2c)2 n+2c=2m

∴5a²-6ac+c²=0，
方程兩邊同除a²得：
即e²-6e+5=0，
解得e=5或e=1（舍去），
故答案為5．

點評：解題過程中，為了解答過程的簡便，我們把未知|PF₁|設為m，|PF₂|設為n，這時要求離心率e，我們要找出a，c之間的關系，則至少需要三個方程，由已知中，若∠F₁PF₂=90°，且△F₁PF₂的三邊長成等差數列，我們不難得到兩個方程，此時一定要注意雙曲線的定義，即P點到兩個焦點的距離之差為定值．