Question

己知S_n是等比數列{a_n}的前n項和，q≠1，a₂，a₈，a₅成等差數列，則下列選項中的數成等差數列的是（　　）

A．S₂，S₈，S₆

B．S₃，S₉，S₆

C．S₄，S₉，S₅

D．S₃，S₈，S₅

Answer 1

分析：由等比數列{a_n}中的三項a₂，a₈，a₅成等差數列，利用等差數列的性質列出關系式，利用等差數列的通項公式化簡，根據首項及公比不為0，可得出關于q³的方程，求出方程的解得到q³的值，然后利用等比數列的求和公式分別表示出S₃，S₉，S₆，代入式子2S₉-（S₃+S₆）中，提取

a1

1-q

后括號中各項化為關于q³的式子，將q³的值代入求出其值為0，可得出2S₉=S₃+S₆，根據等差數列的性質可得出S₃，S₉，S₆成等差數列．

解答：解：∵等比數列{a_n}中，a₂，a₈，a₅成等差數列，
∴2a₈=a₂+a₅，即2a₁q⁷=a₁q+a₁q⁴，
∵a₁≠0，q≠0，
∴2q⁶-q³-1=0，即（2q³+1）（q³-1）=0，
解得：q³=-

1

2

或q³=1（而q≠1，故舍去），
∴q³=-

1

2

，
∵S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
∴2S₉-（S₃+S₆）=

a1

1-q

（-2q⁹+q⁶+q³）
=

a1

1-q

[-2（q³）³+（q³）²+q³]
=

a1

1-q

[-2×（-

1

8

）+

1

4

-

1

2

]=0，
即2S₉=S₃+S₆，
則S₃，S₉，S₆成等差數列．
故選B

點評：此題考查了等差數列的性質，等比數列的通項公式及求和公式，熟練掌握性質及公式是解本題的關鍵．