Question

【題目】若函數f(x)=ax3－bx＋4，當x=2時，函數f(x)有極值－.

(1)求函數的解析式；

(2)若關于x的方程f(x)=k有三個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)f(x)＝x3－4x＋4.(2)－＜k＜.

【解析】試題分析：（1）先對函數進行求導，然后根據，可求出的值，進而確定函數的解析式；（2）由（1）得到函數解析式，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；進而確定函數的大致圖象，結合圖象可求出的范圍.

試題解析：(1)由題意可知f′(x)＝3ax2－b，

于是解得 故所求的解析式為f(x)＝x3－4x＋4.

(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.

當x變化時f′(x)、f(x)的變化情況如下表所示：

x	(－∞，－2)	－2	(－2,2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	單調遞增		單調遞減		單調遞增

因此，當x＝－2時，f(x)有極大值； 當x＝2時，f(x)有極小值.

所以函數的大致圖象如圖．

由圖可知，關于x的方程f(x)=k有三個零點，實數k的取值范圍是 .