Question

如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出．設箱體的長度為a米，高度為b米．已知流出的水中該雜質的質量分數與a，b的乘積ab成反比．現有制箱材料60平方米．問當a，b各為多少米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小（A、B孔的面積忽略不計）．

Answer 1

分析：先將實際問題轉化成數學中的函數的最值問題，再利用基本不等式求．

解答：解法一：設y為流出的水中雜質的質量分數，
則y=

k

ab

，其中k＞0為比例系數．依題意，即所求的a，b值使y值最小．
根據題設，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
得b=

30-a

2+a

（0＜a＜30）．①
于是y=

k

ab

=

k

30a-a2 2+a

=

k

-a+32- 64 a+2

=

k

34-(a+2+ 64 a+2 )

≥

k

34-2 (a+2)• 64 a+2

=

k

18

，
當a+2=

64

a+2

時取等號，y達到最小值．
這時a=6，a=-10（舍去）．
將a=6代入①式得b=3．
故當a為6米，b為3米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小．

解法二：依題意，即所求的a，b的值使ab最大．
由題設知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）．
因為a+2b≥2

2ab

，
所以2

2

ab

+ab≤30，
當且僅當a=2b時，上式取等號．
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．
即當a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18．
所以2b²=18．解得b=3，a=6．
故當a為6米，b為3米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小．

點評：本小題主要考查綜合應用所學數學知識、思想和方法解決實際問題的能力，考查建立函數關系、不等式性質、最大值、最小值等基礎知識．