Question

已知數列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）證明：數列為等差數列；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）設，===1，所以數列為首項是2、公差是1的等差數列．
（2）由題設知，，所以a_n=（n+1）•2ⁿ+1．所以S_n=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ+n．由錯位相減法能夠求出數列{a_n}的前n項和S_n．
解答：解：（1）∵數列為等差數列
設，
===1，（6分）
可知，數列為首項是2、公差是1的等差數列．（7分）
（2）由（1）知，，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ+1．（8分）
∴S_n=（2•2¹+1）+（3•2²+1）+…+（n•2^n-1+1）+[（n+1）•2ⁿ+1]．
即S_n=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ+n．
令T_n=2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，①
則2T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹．②（12分）
②-①，得T_n=-2•2¹-（2²+2³++2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺¹=n•2ⁿ⁺¹．
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹+n=n•（2ⁿ⁺¹+1）．（15分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意通項公式的求法和錯位相減求和法的合理運用．