Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（1）求實數a，b的值；
（2）判斷并證明f（x）在（﹣∞，+∞）上的單調性；
（3）若對任意實數t∈R，不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于定義域為R的函數f（x）= 是奇函數，

則 即 ，解得 ，

即有f（x）= ，經檢驗成立

（2）解：f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數．

證明：設任意x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

由于x1＜x2，則2x1＜2x2，則有f（x1）＞f（x2），

故f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數

（3）解：不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0，

由奇函數f（x）得到f（﹣x）=﹣f（x），

f（kt2﹣kt）＜﹣f（2﹣kt）=f（kt﹣2），

再由f（x）在（﹣∞，+∞）上是減函數，

則kt2﹣kt＞kt﹣2，即有kt2﹣2kt+2＞0對t∈R恒成立，

∴k=0或 即有k=0或0＜k＜2，

綜上：0≤k＜2

【解析】（1）由奇函數的條件可得 即可得到a，b；（2）運用單調性的定義，結合指數函數的單調性，即可得證；（3）不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0，由奇函數f（x）得到f（﹣x）=﹣f（x），f（kt2﹣kt）＜﹣f（2﹣kt）=f（kt﹣2），再由單調性，即可得到kt2﹣2kt+2＞0對t∈R恒成立，討論k=0或k＞0，△＜0解出即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用奇偶性與單調性的綜合的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．