【題目】如圖，在四棱錐
中， 
底面
，底面
為直角梯形， 
， 
， 
， 
為
的中點(diǎn)，平面
交
于
點(diǎn).
（1）求證： 
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析 （2）二面角
的余弦值
【解析】試題分析：（1）先根據(jù)等腰三角形和已知推導(dǎo)出
，從而
，再由
，得
平面
，由此證明
；（2）以
坐標(biāo)原點(diǎn)， 
為
軸， 
為
軸， 
為
軸，建立空間直角坐標(biāo)系
分別求出平面
與平面
的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式能求二面角
的余弦值.
試題解析：證明：（1）因為
， 
分別為
， 
的中點(diǎn)， 
，所以
.
因為
，所以
.
因為
底面
，所以
.
因為
，所以
平面
.
所以
.
因為
，所以
平面
因為
平面
，所以
.
（2）如圖，以
為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系
.
則
， 
， 
， 
， 
.
由（1）可知， 
平面
，
所以平面
的法向量為
.
設(shè)平面
的法向量為
因為
， 
，
所以
即
令
，則
， 
，
所以
，所以
所以二面角
的余弦值
.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求二面角、線面垂直的判定及性質(zhì)，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一個盒子內(nèi)裝有8張卡片，每張卡片上面寫著1個數(shù)字，這8個數(shù)字各不相同，且奇數(shù)有3個，偶數(shù)有5個．每張卡片被取出的概率相等．
（Ⅰ）如果從盒子中一次隨機(jī)取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數(shù)字相加得到一個新數(shù)，求所得新數(shù)是偶數(shù)的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中一次隨機(jī)取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的數(shù)是偶數(shù)則停止取出卡片，否則繼續(xù)取出卡片．設(shè)取出了
次才停止取出卡片，求
的分布列和數(shù)學(xué)期望．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】給出下列結(jié)論：
①若扇形的中心角為2，半徑為1，則該扇形的面積為1；②函數(shù)
是偶函數(shù)；③點(diǎn)
是函數(shù)
圖象的一個對稱中心；④函數(shù)
在
上是減函數(shù).其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間有關(guān)系，某農(nóng)科所對此關(guān)系進(jìn)行了調(diào)查分析，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.
（1）求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；
（2）若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出
關(guān)于
的線性回歸方程
；
（3）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（參考公式： 
， 
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】若函數(shù)
， 
，則對于不同的實數(shù)
，函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間個數(shù)不可能是（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 5個
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知一家公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為6萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.9萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品
千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為
萬元，且
.
（1）寫出年利潤
（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量
（千件）的函數(shù)解析式；
（2）求該公司生產(chǎn)這一產(chǎn)品的最大年利潤及相應(yīng)的年產(chǎn)量.（年利潤=年銷售收入-年總成本）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
.
（1）設(shè)
， 
，若函數(shù)
存在零點(diǎn)，求
的取值范圍；
（2）若
是偶函數(shù)，設(shè)
，若函數(shù)
與
的圖象只有一個公共點(diǎn)，求實數(shù)
的取值范圍.
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