Question

已知在△ABC中，向量

AB

與

AC

滿足（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

）•

BC

=0，且

AB

| AB |

•

AC

| AC |

=

1

2

，則△ABC為（　　）

A．三邊均不相等的三角形

B．直角三角形

C．等腰非等邊三角形

D．等邊三角形

Answer 1

分析：設

AB

| AB |

=

AE

，

AC

| AC |

=

AF

，由 (

AE

+

AF

)•

BC

=0，可得AD⊥BC，再根據邊形AEDF是菱形推出∠EAD=∠DAC，
再由第二個條件可得∠BAC=60°，由△ABH≌△AHC，得到AB=AC，得到△ABC是等邊三角形．

解答：解：設

AB

| AB |

=

AE

，

AC

| AC |

=

AF

，則原式化為 (

AE

+

AF

)•

BC

=0，即

AD

•

BC

=0，
∴AD⊥BC．∵四邊形AEDF是菱形，
．
∵

AE

•

AF

=|

AE

||

AF

|cos＜BAC=

1

2

，
∴cos∠BAC=

1

2

，∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠DAC=30°，∴△ABH≌△AHC，∴AB=AC．
∴△ABC是等邊三角形．

點評：本題考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，三角形形狀的判斷，屬于中檔題．