Question

過拋物線C：上的點(diǎn)M分別向C的準(zhǔn)線和x軸作垂線，兩條垂線及C的準(zhǔn)線和x軸圍成邊長為4的正方形，點(diǎn)M在第一象限.
（1）求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且直線AB過點(diǎn)（0，-1），求的面積.

Answer 1

（1）y²＝8x，(2，4)；（2）.

解析試題分析：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，由題意結(jié)合拋物線圖象得到M點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程中，解出P的值，從而得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及M點(diǎn)坐標(biāo)；第二問，設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，利用M點(diǎn)，分別得到直線MA和直線MB的斜率，因?yàn)閮芍本�傾斜角互補(bǔ)，所以兩直線的斜率相加為0，整理得到y(tǒng)₁＋y₂＝－8，代入到中得到直線AB的斜率，于是得到直線AB的方程，令直線與拋物線聯(lián)立，得到，而，，而用兩點(diǎn)間距離公式轉(zhuǎn)化，d是M到直線AB的距離，從而得到的面積.
（1）拋物線C的準(zhǔn)線x＝－，依題意M(4－，4)，
則4²＝2p(4－)，解得p＝4．
故拋物線C的方程為y²＝8x，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，4)，    3分
（2）設(shè)．
直線MA的斜率，同理直線MB的斜率．
由題設(shè)有，整理得y₁＋y₂＝－8．
直線AB的斜率．      6分
于是直線AB的方程為y＝－x－1．
由得y²＋8y＋8＝0．
|y₁－y₂|＝＝，
于是|AB|＝|y₁－y₂|＝8．         10分
點(diǎn)M到直線AB的距離，
則△MAB的面積S＝|AB|·d＝．      12分
考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離、三角形面積公式.