Question

當p₁，p₂，…，p_n均為正數時，稱

n

p1+p2+…+pn

為p₁，p₂，…，p_n的“均倒數”．已知數列{a_n}的各項均為正數，且其前n項的“均倒數”為

1

2n+1

．
（Ⅰ）試求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=

an

2n+1

，試判斷并說明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號；
（Ⅲ）已知bn=tan(t＞0)，記數列{b_n}的前n項和為S_n，試求

Sn+1

Sn

的值；
（Ⅳ）設函數f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的實數λ，使當x≤λ時，對于一切正整數n，都有f（x）≤0恒成立？

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用條件求得a₁+a₂++a_n-1+a_n=n（2n+1）和a₁+a₂++a_n-1=（n-1）（2n-1），兩式作差就可求出數列{a_n}的通項公式（注意檢驗n=1是否成立）；     
（Ⅱ）利用 （Ⅰ）求得的數列{a_n}的通項公式代入即可求出c_n+1-c_n再利用函數的單調性就可判斷出c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號；
（Ⅲ）利用 （Ⅰ）求得的數列{a_n}的通項公式代入即可求出數列{b_n}的通項公式，再對等比數列{b_n}分公比等于1和不等于1兩種情況分別求和即可找到

Sn+1

Sn

的值；
（Ⅳ）由（Ⅱ）知數列{c_n}是單調遞增數列，c₁=1是其最小項，所以f（x）≤0恒成立可以轉化為-x²+4x≤c₁=1，再解不等式就可找到對應的最大的實數λ．

解答：解：（Ⅰ）由題得：a₁+a₂++a_n-1+a_n=n（2n+1）   ①，
a₁+a₂++a_n-1=（n-1）（2n-1）           ②，
兩式相減，得a_n=4n-1（n≥2）．
又

1

a1

=

1

2×1+1

，解得a₁=3=4×1-1，
∴a_n=4n-1（n∈N⁺）．（4分）
（Ⅱ）∵c_n=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，c_n+1=

an+1

2n+3

=2-

3

2n+3

，
∴c_n+1-c_n=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，即c_n+1＞c_n．（7分）
（Ⅲ）∵b_n=t^a_n=t^4n-1（t＞0），
∴S_n=b₁+b₂++b_n=t³+t⁷++t^4n-1，
當t=1時，S_n=n，

Sn+1

Sn

=

n+1

n

；（8分）
當t＞0且t≠1時，S_n=

t3(1-t4n)

1-t4

，

Sn+1

Sn

=

1-t4n+4

1-t4n

．（10分）
綜上得，

Sn+1

Sn

=

n+1 n ，t=1 1-t4n+4 1-t4n ，t＞0，t≠1

（11分）
（Ⅳ）由（Ⅱ）知數列{c_n}是單調遞增數列，c₁=1是其的最小項，即c_n≥c₁=1．
假設存在最大實數，使當x≤λ時，對于一切正整數n，都有f（x）=-x²+4x-

an

2n+1

≤0恒成立，
則-x²+4x≤

an

2n+1

=cn（n∈N⁺）．
只需-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0．
解之得x≥2+

3

或x≤2-

3

．
于是，可取λ=2-

3

（14分）

點評：本題是對數列知識．函數知識以及恒成立問題的綜合考查．在利用等比數列的求和公式時，一定要看公比的取值，在不確定的情況下，要分清況討論．