Question

【題目】無窮等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)為a1、公差為d，Sn是其前n項(xiàng)和，3、21、15是其中的三項(xiàng)，給出下列命題：
①對任意滿足條件的d，存在a1 ， 使得99一定是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)；
②存在滿足條件的數(shù)列{an}，使得對任意的n∈N* ， S2n=4Sn成立；
③對任意滿足條件的d，存在a1 ， 使得30一定是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)．
其中正確命題的序號為（ ）
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

Answer 1

【答案】A
【解析】解：要使等差數(shù)列的公差最大，則3，15，21為相鄰的前n項(xiàng)和，
此時(shí)對應(yīng)兩項(xiàng)為15﹣3=12，21﹣15=6，所以d≤6．
①99﹣21=78能被6整除，且 ，假設(shè)15和21之間有n項(xiàng)，
那么99和21之間有13n項(xiàng)，所以99一定是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)，所以①正確．
②如果有S2n=4Sn ， 那么由等差數(shù)列求和公式有：2na1+n（2n﹣1）d=4[na1+ ]，
化簡得到，d=2a1 ， 所以只要滿足條件d=2a1的數(shù)列{an}，
就能使得對任意的n∈N* ， S2n=4Sn成立，所以②正確．
③30﹣21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)，所以③錯誤．
綜上可得：只有①②正確．
故選：A．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(前n項(xiàng)和公式：)．