Question

【題目】如圖，在直五棱柱，中，，，，，，.

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

(1)先由題意可得且，從而有平面，即有，再結(jié)合即可證明平面；

(2) 以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，然后寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相關(guān)平面的法向量，代入數(shù)量積求夾角公式即可.

(1)證明：因?yàn)槲謇庵?/span>為直五棱柱，

所以，

又，且，

所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)?/span>，，，

所以平面.

（2）解：因?yàn)?/span>，所以是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

又，，，，

所以，且兩兩垂直.

以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，，.

設(shè)平面的法向量為，

則

令，得平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的法向量為，

則

令，得平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，

則.