Question

已知數列{a_n}滿足a₁=7，a_n+1=3a_n+2^n-1-8n．（n∈N^*）
（Ⅰ）李四同學欲求{a_n}的通項公式，他想，如能找到一個函數f（n）=A•2^n-1+B•n+C（A、B、C是常數），把遞推關系變成a_n+1-f（n+1）=3[a_n-f（n）]后，就容易求出{a_n}的通項了．請問：他設想的f（n）存在嗎？{a_n}的通項公式是什么？
（Ⅱ）記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若不等式S_n-2n²＞p×3ⁿ對任意n∈N^*都成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意a_n+1=3a_n+2^n-1-8n，要使函數f（n）=A•2^n-1+B•n+C（A、B、C是常數），把遞推關系變成a_n+1-f（n+1）=3[a_n-f（n）]，可得f（n+1）-3f（n）=2^n-1-8n，從而求出A，B；
（Ⅱ）記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，因為不等式S_n-2n²＞p×3ⁿ對任意n∈N^*都成立，可得S_n-2n²=3ⁿ-2ⁿ+4n，得出p與n的關系式，然后利用歸納法進行證明；

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1-f（n+1）=3[a_n-f（n）]
∴a_n+1=3a_n+f（n+1）-3f（n），
所以只需f（n+1）-3f（n）=2^n-1-8n，
∵f（n+1）-3f（n）=-A•2^n-1-2Bn+（B-2C），
∴-A=1，-2B=-8，B-2C=0，
∴A=-1，B=4，C=2．故李四設想的f（n）存在，f（n）=-2^n-1+4n+2．
∴a_n-f（n）=3^n-1[a₁-f（1）]=3^n-1（7-5）=2×3^n-1，
∴a_n=2×3^n-1+f（n）=2×3^n-1-2^n-1+2（2n+1）．（5分）
（Ⅱ）S_n=2（1+3+3²++3^n-1）-（1+2++2^n-1）+2[3+5++（2n+1）]=3ⁿ-2ⁿ+2n²+4n．
∴S_n-2n²=3ⁿ-2ⁿ+4n，（7分）
由S_n-2n²＞p×3ⁿ，得p＜

3n-2n+4n

3n

=1-

2n-4n

3n

．
設bn=

3n-2n+4n

3n

，則bn+1-bn=1-

2n+1-4(n+1)

3n+1

-1+

2n-4n

3n

=

2n-8n+4

3n+1

=

2n-4(2n-1)

3n+1

，
當n≥6時，2^n-2=（1+1）^n-2≥1+C_n-2¹+C_n-2²++C_n-2^n-3+C_n-2^n-2≥2(1+n-2)+

(n-2)(n-3)

2

≥2n-2+2(n-3)=4n-8＞2n-1，
（用數學歸納法證也行）
∴n≥6時，b_n+1＞b_n．容易驗證，1≤n≤5時，b_n|+1＜b_n，
∴p＜（b_n）_min=b6=

689

729

，
∴p的取值范圍為(-∞，

689

729

)．（13分）

點評：此題是數學與不等式的綜合，難度比較大，第一題根據（1）的思路進行求解，不是很難，第二問難度比較大，計算量也比較大，利用歸納法進行求解比較簡單；