Question

（本小題滿分12分）為了了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8.

⑴將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；
⑵求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；
⑶若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率.

Answer 1

（1）估計該年段學生中百米成績在[16,17)內的人數為320人。
（2）調查中隨機抽取了50個學生的百米成績. （3）P(A )=。

解析試題分析：（1）根據頻率分步直方圖中小正方形的面積是這組數據的頻率，用長乘以寬得到面積，即為頻率．
（II）根據所有的頻率之和是1，列出關于x的方程，解出x的值做出樣本容量的值，即調查中隨機抽取了50個學生的百米成績．
（III）本題是一個古典概型，試驗發生所包含的事件是從第一、五組中隨機取出兩個成績，滿足條件的事件是成績的差的絕對值大于1秒，列舉出事件數，根據古典概型概率公式得到結果．
解：（1）百米成績在[16,17)內的頻率為0.321="0.32." 0.321000=320
∴估計該年段學生中百米成績在[16,17)內的人數為320人。   ……2分
（2）設圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x，8x ，19x 依題意，得 3x+8x+19x+0.321+0.081="1" ，∴x=0.02     ……4分　
設調查中隨機抽取了n 個學生的百米成績，則   ∴n=50
∴調查中隨機抽取了50個學生的百米成績.     ……6分
（3）百米成績在第一組的學生數有30.02150=3，記他們的成績為a，b，c
百米成績在第五組的學生數有0.08150= 4，記他們的成績為m，n，p，q
則從第一、五組中隨機取出兩個成績包含的基本事件有
{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},
{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21個          ……9分
設事件A為滿足成績的差的絕對值大于1秒，則事件A所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12個，……10分
所以P(A )=      ……12分
考點：本試題主要考查了樣本估計總體，考查古典概型的概率公式，考查頻率分布直方圖等知識，考查數據處理能力和分析問題、解決問題的能力。
點評：解決該試題的關鍵是利用直方圖得到各個區間的概率值，進而結合古典概型概率公式，確定基本事件空間，和事件A發生的基本事件數，進而得到結論。