Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形 是等腰梯形， , 平面 , ， ．

（1）求證： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為四邊形 為等腰梯形， ， ，

所以 ．又 ，所以 ，

因此 ， ，又 ，且 ，

平面 ，所以 平面

（2）解：取 的中點 ，連接CG,FG，因為 ，所以 ．

又 平面 ， 平面 ，所以 ．

由于 ， 平面 ，所以 平面 ，

故 ．所以 為二面角 的平面角．

在等腰三角形 中，由于 ，因此 ，又 ，所以 ，故 ,

因此，二面角 的余弦值為

【解析】(1)由題意可得證A D ⊥ B D 、 A E ⊥ B D再由線面垂直的判定定理可得證B D ⊥ 平面 A E D。(2)根據題意建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標進而求出各個向量的坐標，設出平面BDE和平面DBC的法向量，由向量垂直的坐標運算公式可求出法向量，再利用向量的數量積運算公式求出余弦值即可。
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定和空間向量的數量積運算，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；等于的長度與在的方向上的投影的乘積即可以解答此題．