Question

某學生在上學路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2min.
（Ⅰ）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；    
（Ⅱ）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，期望是。

（1）由題意知在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，所以這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈是相互獨立事件同時發生的概率，根據公式得到結果．
（2）由題意知變量的可能取值，根據所給的條件可知本題符合獨立重復試驗，根據獨立重復試驗公式得到變量的分布列，算出期望．
（Ⅰ）設這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件A，因為事件A等價于事件“這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為.
（Ⅱ）由題意可得，可能取的值為0，2，4，6，8（單位：min）.    
事件“”等價于事件“該學生在路上遇到次紅燈”（0，1，2，3，4），
∴，   
∴即的分布列是

	0	2	4	6	8

∴的期望是.