Question

已知橢圓的頂點與雙曲線的焦點重合，它們的離心率之和為，若橢圓的焦點在y軸上．
（1）求雙曲線的離心率，并寫出其漸近線方程；
（2）求橢圓的標準方程．

Answer 1

（1）e₁=2，漸近線方程為y=±；（2）．

解析試題分析：（1）首先由已知雙曲線的標準方程求出雙曲線的幾何量，就可得焦點及離心率，漸近線方程；
（2）根據已知條件求出橢圓的離心率及焦距，利用橢圓的三個參數的關系，求出橢圓中的三個參數，從而就可求出橢圓的方程．
試題解析：（1）設雙曲線的焦距為2c₁，離心率為e₁，（2分）
則有：c₁²=4+12=16，c₁=4   （4分）
∴e₁=2，漸近線方程為y=±；（6分）
（2）橢圓的離心率為，∴．又a=4，∴c=；
∵a²=b²+c²，（10分）
∴b²=；∴所求橢圓方程為（12分）
考點：1.雙曲線的簡單性質；2.橢圓的標準方程．